Примерные расчетные задачи экзаменационных билетов

 

Пример 1. Рассчитайте изменение внутренней энергии гелия (одноатомный идеальный газ) при изобарном расширении от 5 до 10 л под давлением 196 кПа.

Решение. p1 = p2 = 196 кПа, V1 = 5 л, V2 = 10 л. Начальная и конечная температуры: T1 = p1V1 / nR, T2 = p2V2 / nR. Изменение внутренней энергии идеального газа определяется только начальной и конечной температурой (CV = 3/2 nR - идеальный одноатомный газ):

 U = CV (T2-T1) = 3/2 nR (T2-T1) = 3/2 (p2V2 - p1V1) = 3/2   (196. 103)  (10-5). 10-3 =
= 1470 Дж.

Ответ. 1470 Дж.

 

Пример 2. Используя первый закон и определение теплоемкости, найдите разность изобарной и изохорной теплоемкостей для произвольной термодинамической системы.

Решение. В определение теплоемкости (2.6) подставим дифференциальное представление первого закона (2.1) и используем соотношение (2.13) для внутренней энергии как функции температуры и объема:

 

Отсюда при постоянном давлении получаем:

 

 

Пример 3. Один моль ксенона, находящийся при 25 оС и 2 атм, расширяется адиабатически: а) обратимо до 1 атм, б) против давления 1 атм. Какой будет конечная температура в каждом случае?

Решение. а) Исходный объем ксенона (n = 1):

V1 = nRT1 / p1 = 0.082. 298 / 2 = 12.2 л.

Конечный объем можно найти из уравнения адиабаты (для одноатомного идеального газа   = Cp / CV = 5/3):

p1V15/3 = p2V25/3

V2 = V1 . (p1/p2)3/5 = 12.2 . 23/5 = 18.5 л.

Конечную температуру находим по уравнению состояния идеального газа (p2 = 1 атм):

T2 = p2V2 / nR = 18.5 / 0.082 = 225 К.

б) При необратимом расширении против постоянного внешнего давления уравнение адиабаты неприменимо, поэтому надо воспользоваться первым законом термодинамики. Работа совершается за счет убыли внутренней энергии:

A = -  U = nCV (T1-T2),

где n = 1, CV = 3/2 R (одноатомный идеальный газ). Работа расширения против постоянного внешнего давления p2 равна:

A = p2 (V2-V1) = nRT2 - p2V1.

Приравнивая последние два выражения, находим температуру T2:

T2 = (nCVT1 + p2V1) / (nCV + nR) = 238 К.

Температура выше, чем при обратимом расширении, т.к. в обратимом случае совершается бМльшая работа, расходуется больше внутренней энергии и температура понижается на большую величину.

Ответ. а) 225 К; б) 238 К.

 

Пример 4. Один моль водяных паров обратимо и изотермически сконденсировали в жидкость при 100 оС. Рассчитайте работу, теплоту, изменение внутренней энергии и энтальпии в этом процессе. Удельная теплота испарения воды при 100 оС равна 2260 Дж/г.

Решение. В процессе

H2O(г)   H2O(ж)

произошло обратимое сжатие газа при постоянном давлении p = 1 атм от объема V1 = nRT / p = 0.082. 373 = 30.6 л до объема одного моля жидкой воды V2 ~ 0.018 л. Работа сжатия при постоянном давлении равна:

A = p (V2-V1)   -pV1 = -101.3 кПа   30.6 л = -3100 Дж.

При испарении одного моля воды затрачивается теплота 2260 Дж/г   18 г = 40700 Дж, поэтому при конденсации одного моля воды эта теплота, напротив,

выделяется в окружающую среду:

Q = -40700 Дж.

Изменение внутренней энергии можно рассчитать по первому закону:

 U = Q - A = -40700 - (-3100) = -37600 Дж,

а изменение энтальпии - через изменение внутренней энергии:

 H =   U +   (pV) =   U + p  V =   U + A = Q = -40700 Дж.

Изменение энтальпии равно теплоте, т.к. процесс происходит при постоянном давлении.

Ответ. A = -3100 Дж, Q =   H = -40700 Дж,   U = -37600 Дж.

ЗАДАЧИ

1. Газ, расширяясь от 10 до 16 л при постоянном давлении 101.3 кПа, поглощает 126 Дж теплоты. Определите изменение внутренней энергии газа.

 

2. Определите изменение внутренней энергии, количество теплоты и работу, совершаемую при обратимом изотермическом расширении азота от 0.5 до 4 м3 (начальные условия: температура 26.8оС, давление 93.2 кПа).

 

3. Один моль идеального газа, взятого при 25 oC и 100 атм, расширяется обратимо и изотермически до 5 атм. Рассчитайте работу, поглощенную теплоту,   U и   H.

 

4. Рассчитайте изменение энтальпии кислорода (идеальный газ) при изобарном расширении от 80 до 200 л при нормальном атмосферном давлении.

 

5. Какое количество теплоты необходимо для повышения температуры 16 г кислорода от 300 до 500 К при давлении 1 атм? Как при этом изменится внутренняя энергия?

 

6. Объясните, почему для любой термодинамической системы Cp > CV.

 

7. Чайник, содержащий 1 кг кипящей воды, нагревают до полного испарения при нормальном давлении. Определите A, Q,   U,   H для этого процесса. Мольная теплота испарения воды 40.6 кДж/моль.

 

8. Определите конечную температуру и работу, необходимую для адиабатического сжатия азота от 10 л до 1 л, если начальные температура и давление равны 26.8 оС и 101.3 кПа, соответственно.

 

9. Три моля идеального одноатомного газа (CV = 3.0 кал/(моль. К)), находящегося при T1 = 350 K и P1 = 5 атм, обратимо и адиабатически расширяются до давления P2 = 1 атм. Рассчитайте конечные температуру и объем, а также совершенную работу и изменение внутренней энергии и энтальпии в этом процессе.

 

10. Система содержит 0.5 моль идеального одноатомного газа (CV = 3.0 кал/(моль. К)) при P1 = 10 атм и V1 = 1 л. Газ расширяется обратимо и адиабатически до давления P2 = 1 атм. Рассчитайте начальную и конечную температуру, конечный объем, совершенную работу, а также изменение внутренней энергии и энтальпии в этом процессе. Рассчитайте эти величины для соответствующего изотермического процесса.

 

11. Рассчитайте количество теплоты, необходимое для нагревания воздуха в квартире общим объемом 600 м3 от 20 оС до 25 оС. Примите, что воздух - это идеальный двухатомный газ, а давление при исходной температуре нормальное. Найдите   U и   H для процесса нагревания воздуха.

 

12. Человеческий организм в среднем выделяет 104 кДж в день благодаря метаболическим процессам. Основной механизм потери этой энергии - испарение воды. Какую массу воды должен ежедневно испарять организм для поддержания постоянной температуры? Удельная теплота испарения воды - 2260 Дж/г. На сколько градусов повысилась бы температура тела, если бы организм был изолированной системой? Примите, что средняя масса человека - 65 кг, а теплоемкость равна теплоемкости жидкой воды.

 

13. Один моль паров брома обратимо и изотермически сконденсировали в жидкость при 59 оС. Рассчитайте работу, теплоту, изменение внутренней

энергии и энтальпии в этом процессе. Удельная теплота испарения брома при 59 оС равна 184.1 Дж/г.

 

14. Один моль идеального одноатомного газа вступает в следующий замкнутый цикл:

 

Процесс 1   2 - изотермический, 3   1 - адиабатический. Рассчитайте объемы состояний 2 и 3, а также температуры состояний 1, 2 и 3, считая стадии 1   2 и 3   1 обратимыми. Рассчитайте   Uи   H для каждой стадии.

 

15. Придумайте циклический процесс с идеальным газом, состоящий из четырех стадий. Изобразите этот процесс в координатах p - V. Рассчитайте полное изменение внутренней энергии, а также теплоту и совершенную газом работу.

 

16. Один моль фтороуглерода расширяется обратимо и адиабатически вдвое по объему, при этом температура падает от 298.15 до 248.44 К. Чему равно значение CV?

 

17. Докажите соотношение (2.16) для работы обратимого адиабатического процесса.

 

18. Один моль метана, взятый при 25 оС и 1 атм, нагрет при постоянном давлении до удвоения объема. Мольная теплоемкость метана дается выражением:

Cp = 5.34 + 0.0115. T кал/(моль. К).

Рассчитайте   U и   H для этого процесса. Метан можно считать идеальным газом.

 

19. Выведите уравнение для обратимого адиабатического сжатия неидеального газа, если уравнение состояния одного моля газа имеет вид:

p (V-b) = RT.

 

20*. Используя уравнение состояния и первый закон термодинамики, выведите уравнение адиабаты для газа Ван-дер-Ваальса.

 

ПРИМЕРЫ

Пример 1. Стандартные энтальпии образования жидкой и газообразной воды при 298 К равны -285.8 и -241.8 кДж/моль, соответственно. Рассчитайте энтальпию испарения воды при этой температуре.

Решение. Энтальпии образования соответствуют следующим реакциям:

H2(г) + ЅO2(г) = H2O(ж),   H10 = -285.8;

H2(г) + ЅO2(г) = H2O(г),   H20 = -241.8.

Вторую реакцию можно провести в две стадии: сначала сжечь водород с образованием жидкой воды по первой реакции, а затем испарить воду:

H2O(ж) = H2O(г),   H0исп = ?

Тогда, согласно закону Гесса,

 H10 +   H0исп =   H20,

откуда   H0исп = -241.8 - (-285.8) = 44.0 кДж/моль.

Ответ. 44.0 кДж/моль.

 

Пример 2. Рассчитайте энтальпию реакции

6C(г) + 6H(г) = C6H6(г)

а) по энтальпиям образования; б) по энергиям связи, в предположении, что двойные связи в молекуле C6H6 фиксированы.

Решение. а) Энтальпии образования (в кДж/моль) находим в справочнике (например, P.W.Atkins, Physical Chemistry, 5th edition, pp. C9-C15):   fH0(C6H6(г)) = 82.93,   fH0(C(г)) = 716.68,   fH0(H(г)) = 217.97. Энтальпия реакции равна:

 rH0 = 82.93 - 6  716.68 - 6  217.97 = -5525 кДж/моль.

б) В данной реакции химические связи не разрываются, а только образуются. В приближении фиксированных двойных связей молекула C6H6 содержит 6 связей C- H, 3 связи C- C и 3 связи C=C. Энергии связей (в кДж/моль) (P.W.Atkins, Physical Chemistry, 5th edition, p. C7): E(C- H) = 412, E(C- C) = 348, E(C=C) = 612. Энтальпия реакции равна:

 rH0 = -(6  412 + 3  348 + 3  612) = -5352 кДж/моль.

Разница с точным результатом -5525 кДж/моль обусловлена тем, что в молекуле бензола нет одинарных связей C- C и двойных связей C=C, а есть 6 ароматических связей C  C.

Ответ. а) -5525 кДж/моль; б) -5352 кДж/моль.

 

Пример 3. Пользуясь справочными данными, рассчитайте энтальпию реакции

3Cu(тв) + 8HNO3(aq) = 3Cu(NO3)2(aq) + 2NO(г) + 4H2O(ж)

при 298 К.

Решение. Сокращенное ионное уравнение реакции имеет вид:

3Cu(тв) + 8H+(aq) + 2NO3-(aq) = 3Cu2+(aq) + 2NO(г) + 4H2O(ж).

По закону Гесса, энтальпия реакции равна:

 rH0 = 4  fH0(H2O(ж)) + 2  fH0(NO(г)) + 3  fH0(Cu2+(aq)) - 2  fH0(NO3-(aq))

(энтальпии образования меди и иона H+ равны, по определению, 0). Подставляя значения энтальпий образования (P.W.Atkins, Physical Chemistry, 5th edition, pp. C9-C15), находим:

 rH0 = 4  (-285.8) + 2  90.25 + 3  64.77 - 2  (-205.0) = -358.4 кДж

(в расчете на три моля меди).

Ответ. -358.4 кДж.

 

Пример 4. Рассчитайте энтальпию сгорания метана при 1000 К, если даны энтальпии образования при 298 К:   fH0(CH4) = -17.9 ккал/моль,   fH0(CO2) = -94.1 ккал/моль,   fH0(H2O(г)) = -57.8 ккал/моль. Теплоемкости газов (в кал/(моль. К)) в интервале от 298 до 1000 К равны:

Cp(CH4) = 3.422 + 0.0178. T, Cp(O2) = 6.095 + 0.0033. T,

Cp(CO2) = 6.396 + 0.0102. T, Cp(H2O(г)) = 7.188 + 0.0024. T.

Решение. Энтальпия реакции сгорания метана

CH4(г) + 2O2(г) = CO2(г) + 2H2O(г)

при 298 К равна:

 = -94.1 + 2  (-57.8) - (-17.9) = -191.8 ккал/моль.

Найдем разность теплоемкостей как функцию температуры:

 Cp = Cp(CO2) + 2  Cp(H2O(г)) - Cp(CH4) - 2  Cp(O2) =
= 5.16 - 0.0094T (кал/(моль. К)).

Энтальпию реакции при 1000 К рассчитаем по уравнению Кирхгофа:

 =   +   = -191800 + 5.16  
 (1000-298) - 0.0094  (10002-2982)/2 = -192500 кал/моль.

Ответ. -192.5 ккал/моль.

ЗАДАЧИ

1. Сколько тепла потребуется на перевод 500 г Al (т.пл. 658 оС,   H0пл = 92.4 кал/г), взятого при комнатной температуре, в расплавленное состояние, если Cp(Alтв) = 0.183 + 1.096  10-4T кал/(г  К)?

 

2. Стандартная энтальпия реакции CaCO3(тв) = CaO(тв) + CO2(г), протекающей в открытом сосуде при температуре 1000 К, равна 169 кДж/моль. Чему равна теплота этой реакции, протекающей при той же температуре, но в закрытом сосуде?

3. Рассчитайте стандартную внутреннюю энергию образования жидкого бензола при 298 К, если стандартная энтальпия его образования равна 49.0 кДж/моль.

4. Рассчитайте энтальпию образования N2O5(г) при T = 298 К на основании следующих данных:

2NO(г) + O2(г) = 2NO2(г),   H10 = -114.2 кДж/моль,

4NO2(г) + O2(г) = 2N2O5(г),   H20 = -110.2 кДж/моль,

N2(г) + O2(г) = 2NO(г),   H30 = 182.6 кДж/моль.

5. Энтальпии сгорания  -глюкозы,  -фруктозы и сахарозы при 25 оС равны -2802,
-2810 и -5644 кДж/моль, соответственно. Рассчитайте теплоту гидролиза сахарозы.

6. Определите энтальпию образования диборана B2H6(г) при T = 298 К из следующих данных:

B2H6(г) + 3O2(г) = B2O3(тв) + 3H2O(г),   H10 = -2035.6 кДж/моль,

2B(тв) + 3/2 O2(г) = B2O3(тв),   H20 = -1273.5 кДж/моль,

H2(г) + 1/2 O2(г) = H2O(г),   H30 = -241.8 кДж/моль.

7. Рассчитайте теплоту образования сульфата цинка из простых веществ при T = 298 К на основании следующих данных:

ZnS = Zn + S,   H10 = 200.5 кДж/моль,

2ZnS + 3O2 = 2ZnO + 2SO2,   H20 = -893.5 кДж,

2SO2 + O2 = 2SO3,   H30 = -198.2 кДж/моль,

ZnSO4 = ZnO + SO3,   H40 = 235.0 кДж/моль.

8. Найдите   rH0298 для реакции

CH4 + Cl2 = CH3Cl(г) + HCl(г),

если известны теплоты сгорания метана (  cH0(CH4) = -890.6 кДж/моль), хлорметана (  cH0(CH3Cl) = -689.8 кДж/моль), водорода (  cH0(H2) = -285.8 кДж/моль) и теплота образования HCl (  fH0(HCl) = -92.3 кДж/моль)).

9. Рассчитайте тепловой эффект реакции

NH3 + 5/4 O2 = NO + 3/2 H2O(г)

при T = 298 K, если известны следующие данные:

H2O(г) = H2O(ж),   H10 = -44 кДж/моль,

1/2N2 + 3/2H2 = NH3,   H20 = -46.2 кДж/моль,

H2 + 1/2O2 = H2O(ж),   H30 = -285.8 кДж/моль,

NO = 1/2N2 + 1/2O2,   H40 = -91.3 кДж/моль.

10. При взаимодействии 10 г металлического натрия с водой   rH298 = -79.91 кДж, а при взаимодействии 20 г оксида натрия с водой   rH298 = -76.76 кДж. Вода берется в большом избытке. Рассчитайте теплоту образования оксида натрия   fH0298(Na2O), если   fH0298(H2Oж) = -285.8 кДж/моль.

11. Энергия связи в молекуле H2 равна 432.1 кДж/моль, а энергия связи в молекуле N2 равна 945.3 кДж/моль. Какова энтальпия атомизации аммиака, если энтальпия образования аммиака равна -46.2 кДж/моль?

12. Рассчитайте стандартный тепловой эффект реакции нейтрализации

NaOH + HCl = NaCl + H2O,

протекающей в водном растворе при 298 К.

13. Рассчитайте стандартный тепловой эффект реакции

CaSO4(тв) + Na2CO3(aq) = CaCO3(тв) + Na2SO4(aq)

при 298 К.

14. Напишите уравнение Кирхгофа для реакции, протекающей при постоянном объеме.

15. Зависимость теплового эффекта реакции CH3OH(г) + 3/2O2 = CO2 + 2H2O(г) от температуры выражается уравнением:

 (Дж) =

Рассчитайте изменение теплоемкости   Cp для этой реакции при 500 К.

16. Стандартная энтальпия образования Al2O3(тв) при 298 К равна -1675 кДж/моль. Рассчитайте стандартную энтальпию образования Al2O3(тв) при 800 К, если даны мольные теплоемкости (в Дж/(моль. К)):

Cp(Al) = 20.67 + 12.39. 10-3T, Cp(O2) = 31.46 + 3.39. 10-3T - 3.77. 105T-2,

Cp(Al2O3) = 114.56 + 12.89. 10-3T - 34.31. 105T -2.

17. Энтальпия диссоциации карбоната кальция при 900 оС и давлении 1 атм равна 178 кДж/моль. Выведите уравнение зависимости энтальпии реакции от температуры и рассчитайте количество теплоты, поглощенное при разложении 1 кг карбоната кальция при 1000 оС и 1 атм, если даны мольные теплоемкости (в Дж/(моль. К)):

Cp(СaCO3(тв)) = 104.5 + 21.92. 10-3T - 25.94. 105T-2,

Cp(СaO(тв)) = 49.63 + 4.52. 10-3T - 6.95. 105T-2,

Cp(CO2(г)) = 44.14 + 9.04. 10-3T - 8.53. 105T-2